#管中窥豹读书计划第 906 本（179）#《笛卡尔几何》🚢笛卡儿早年生活的资料很少，只知他幼年体弱，丧母后由一位保姆照料；他对周围的世界充满好奇心，因此父亲说他是 “小哲学家”。8 岁（1604）时入拉弗莱什镇的耶稣会学校读书，校方出于对他健康的关心，特许他不受校规约束，早晨可躺到愿意去上课时为止。据说他因此养成了清晨卧床长时间静思的习惯，几乎终生不变。🚢1637 年，笛卡儿的名著《方法谈》问世，其中有三个附录 ——《折光》《气象》《几何》，作为他的一般方法论的应用实例。这本《几何》所阐发的思想，被英国哲学家、经济学家密尔（John Stuart Mill）称作 “精密科学进步中最伟大的一步”。《几何》共分为三章，笛卡儿在里面讨论的全是关于初等几何的作图问题，这些都是从古希腊起一直在研究的，新颖之处就在于他使用的方法。🚢人类早期发展起来的几何、算术和代数，都以其研究对象的直观性存在或构造性存在为基础。《原本》的基础仍在于几何对象的构造性存在：①它的 5 条（公设）是为作图而设的；②它只讨论可规、尺作图的图形。它规定的工具（不带刻度的直尺和离开作图平面即失效的原始圆规）虽使人感到一种浓烈的公理味，但欧几里得的目的可能是为了作图的规格化、统一化。🚢当我想象一个三角形时，我不仅理会到这是一个由 3 条线组成的形相，而且同时直观到可以说由我的心智的能力或内视力提供出来的 3 条线…… 可是如果我要去思想一个千边形，我虽然明白地理会到这是一个由一千条边组成的形相…… 可是无论如何不能想象出千边形的一千条边，即不能用我的心灵的眼睛看到那一千条边。🚢笛卡儿得到解析几何真谛的过程大致如下：①在学生时代，对几何、算术和代数产生了浓厚的兴趣，认为是他所学知识中最明白和确实的；②在发展他的哲学体系时，提出由怀疑为先导的理性方法，因而对希腊数学进行了深刻的反思；③与此同时，他对科学的兴趣，使他产生了要寻找一种普遍适用的数学的强烈愿望；④在批判希腊数学著作时，在帕普斯的《数学汇编》中发现了 “轨迹问题”—— 这个问题欧几里得和阿波罗尼奥斯（Apollonius）都研究过但未解决。🚢在《第一哲学沉思集》中，笛卡儿有一段对数学对象本性的论述：我想象一个三角形的时候，虽然在我以外的世界的任何地方也许没有这样一种形相，甚至从来没有过，但是这种形相毕竟具有明确的性质、形式或本质，是不变的、永恒的，不是我捏造的，而且不依赖于我的心灵而存在。🚢算术仅由四种或五种运算组成，即加、减、乘、除和开根，开根可认为是一种除法；在几何中，为得到所要求的线段，只需对其他一些线段加加减减；不然的话，我可以取一个线段，称之为单位线段，目的是把它同数尽可能紧密地联系起来，而它的选择一般是任意的；当再给定其他两条线段时，则可求第四条线段，使它与给定线段之一的比等于另一给定线段与单位线段的比（这跟乘法一致）；或者，可求第四条线段，使它与给定线段之一的比等于单位线段与另一线段之比（这等价于除法）；最后，可在单位线段和另一线段之间求一个、两个或多个比例中项（这相当于求给定线段的平方根、立方根等）。🚢如果所论问题可用通常的几何来解决，即只使用平面上的直线和圆的轨迹，此时，最后的方程要能够完全解出，其中至多只能保留一个未知量的平方，它等于某个已知量与该未知量的积，再加上或减去另一个已知量。于是，这个根或者说这条未知线段能被容易地求得。