给这本书评了4.0数学，每个人都应学的通识课本书的作者蒂莫西・高尔斯（Timothy Gowers）教授是 1998 年获得菲尔茨（Fields）奖的著名数学家。作为数学通识书，作者在书中将数学概念和内涵一律用简明而生动的语言进行了介绍。说实话，书中的内容我并没有完全看懂，证明我以前数学的学习就不够扎实，另外很多知识都还给老师了，再加上有些知识是以前从未听说的，想要读懂的确很费劲。但是，如果你对数学感兴趣，对数学的前世今生感兴趣，这本书绝对适合你仔细研读，反复琢磨。
给这本书评了4.0已经熟悉有关内容的读者，会有如沐春风、别开生面的感受蒂莫西・高尔斯 [英] 的《牛津通识读本：数学》，在讲述数学知识之外，也启发我们锻炼数学思维。蒂莫西・高尔斯讲到，如果不去小心地证明你所说的话，那你就有说错的危险。一个更积极一点的寓意是，如果确实努力去证明一个陈述，那你将能以全然不同而且更有意思的方式理解它。如果说这本书要向你传达什么信息的话，那就是 —— 我们应当学习抽象地思考，因为通过抽象地思考，许多哲学上的困难就能轻易地消除。大学数学学的不够好，勉强及格。过去三十年了，也忘完了。本书也就不能全部看懂了。权且是锻炼一下大脑吧。
给这本书评了3.0生涩难懂虽然说事说通俗易懂，不过看完之后还是觉得…… 毫生涩啊，不愧是菲尔茨奖获得者的作品。相较于《从一到无穷大》和《啊哈原来如此》真的太难了，感觉没有高中的学习经验是没办法增长理解的。试着在看一本牛津通识读本试试把。
给这本书评了5.0从数学(组件)…到大脑…到自我…到AI并不严谨，提供框架思路而已。
很多猜测……………………………………………………………… 数学再怎么抽象也是来自于对现实世界的洞察。数学中的各个分支就是从现实世界中抽象出的一个个精髓。现实中普遍包含啥，数学希望用符号表示啥。数学和软件工程一样，用那些人为发明的 * 形式符号 * 来映射现实中万事万物的常出现组件。我们可以把万事万物都看作为如下几个成分组成的 {数学中任何符号公式都是如下的代称罢了}：
@1 类型和对象：
范畴 (泛化共性的类型，范畴论)，集合 {集合论}，数量 {数论}
(自然数 整数 有理无理数 复数 向量 矩阵…… 分别映射现实中的单一维度、多维度的对象、多个的对象)
"类型" 和‘对象’，熟悉软件开发的人对这两个概念并不陌生。实际上这两个概念不是软件工程里发明的。古希腊哲学就有，数学和哲学又起初不分家。
万事万物，都可以看作为 "类型" 和 "对象" 的构成的。小红这位女人可以由 "年龄"，"智慧"，"行为" 等构成。
"类型’和‘对象绝对不是仅仅可以指一个人，一个物，一个‘状态’。也可以指一个" 行为过程 "或者对 x 操作得出 y 的过程，或者代表 x 和 y 之间的" 关系结构 "，也就是比如把小红和小黑之间的" 关系结构 "，或者" 行为 "当作为" 类型 "和" 对象 "
同样，"精神 情感 意识"，"物质能量 信息"，"目标 方法 行为"，"宇宙本身，天体，运动，人类"
任何 "存在" 都可以看作为 "类型" 和 "对象"。
这就是 "抽象"，到 "统一" 为一个视角看一切。然后因为一切都是 "类型" 和 "对象", 作为 "同类" 之后，才能、也就可能对他们进行计算，组合……
数学中的 "数" 可以是被操作或者被分析的任何客体对象 [X 或者 Y], 它可以是操作运动或者 "关系结构"。比如虚数就是 "逆时针旋转 90 度"，"无穷大" 是一种 "运动行为"，而不是 "状态"…
把 "复数"，"虚数","无穷大" 等作为客体 X 或者 Y，然后代入函数中，无非就是研究 X 和 Y 作为两种 "运动行为"，为被动对象，他们之间的 "关系结构"。
X 可以是 "宇宙本身"，Y 可以是 "你自己"，可以是任何东西，可以是物质，信息，精神，运动，关系结构。可以是任何对象，任何类型。
总而言之，一切 "存在" 为 "类型和对象"
当有了这个精神欲望后，不管遇到什么，都可以这样看，然后建模研究他们。
@2 结构 (关系)= 行为模式……
(也是 “关系”，x 和 y 之间的 “关系”，我们为了表示 x 和 y 两个对象的关系，把他俩的 “关系” 用 “函数” 表示。
万事万物之间的关系可以有：代数结构关系 (线性和非线性)，拓扑结构关系，序结构关系…
* 函数 * 在数学中强调两个客体对象的映射关系，在软件语言中强调的则是对 x 的各种类似于机床的操作后输出 y 的过程。但是他们可以等价，也就是＊行为操作＊等价于＊关系结构＊…… 在人工智能中，我们就需要两个思维同时具备，即神经网络中其实就是很多个函数主体，还有输入 X 和输出 Y 作为客体，我们同时把这个理解为＊操作过程＊和＊关系结构的拟合映射＊，把他们等价来看，前者强调行为主体的行为，后者强调客体之间的关系……… 这是一种哲学观念…… 当反复同时这样思考后，更能理解智能是怎么回事。人类等大脑的神经工作，和人类等行为，就可以同时这样想。)
@3 空间
“空间” 并不是 “实在”，仅仅是很多个 “对象 + 行为” 产生的 "影响范围"。
数学中的 "空间" 是比现实具体空间更加广义的空间。
物质宇宙的 "质量和运动的对象" 产生了 "影响范围"，这就是 "时空"，导致在这个影响范围内的任何对象都受到影响。
但是 "时空" 究竟是第一性的物质呢？还是仅仅为如上说的作为一种物质产生的 ' 影响力性质 ' 呢？
正如 "电磁波" 被我们认定为是一种‘物质’即第一性的本体存在，虽然他是看不见摸不着的。但是‘机械波’就不被我们认定为一种 "物质" 即第一性的实在，区分这个太重要。
那么 "时空" 是前者还是后者？
@4 变化…
微积分就是关于 X 和 Y 之间相应变化的。
从 "变化" 的视角为突破口，我们可以知道未知对象的可能性状态
@5 逻辑和证明，以及公理化
人类社会的法治赖于数学竞赛中的公理化。
在遇到任何事物事情下：除了逻辑起点，先验知识，不得不假设外，其他每一个过程都得逻辑实证，证明之。正如搭建积木，最基本的宇宙元素 [积木] 来自 god 创造，接下来的每一个自然演绎的积木都需要严格推理，证明，不能想当然凭借直觉，这是真正的靠谱。
数学的这样的精神，是人类真正实现智慧的支柱，而不是打从人有 "想象力" 开始。意淫也是一种想象力。有规矩的想象才能有稳健的创造。
@6 模型，建模
实际上是完善如上条目，即几大件。现实世界太复杂了，要进行抽象简化。且首先有基于当前问题目标的逆向思维，对现实因素进行简化。不是顺向思维。要注意对现实世界有所取舍，把握关键，去粗取精。有时候需要植入现实中可能没有直接对应的 * 类型和对象 * 在模型中，但是存在间接对应。对现实进行 * 建模 *，是个 * 富含情感 * 的精神活动，不固定。@7 视角
看待万事万物的几个视角，或者把一切当成如下几个类型来看，分别顺藤摸瓜，有时候需要 “组合类型” 来看现实种种任何现实的两个对象 X 和 Y：他们之间有什么关系结构的视角 (代数，拓扑 序关系) 他们各自 * 变化 * 为对象，然后对象之间关系 (微积分)。他们是确定的 ，还是不确定的概率，近似关系 (概率 统计) 的视角他们之间的数量关系和类型逻辑关系 (代数… 人脑和人工智能神经网络 (邻居关系，远近关系，时间序列关系，空间关系等，人脑和人工智能之所以有智慧能力，就是它们作为自动执行的复杂函数，对输入给脑的东西进行了自动的关系拟合…) 他们之间的比较关系 ( 逻辑，布尔逻辑等) 他们之间的宏观的表型的功能、价值关系 (运筹，优化… 规划… 学习) 他们之间的基于语言规则的映射关系的视角…@@@@8 总结：
&(逆向工程) 当怀着主观目的，面对现实一个问题的时候，逆向思维即从目标到方法，对现实抽象简化，建立一个模型。这个模型中包含 * 类型 对象 *，* 关系结构 & 行为 *,* 空间或者环境场景 *，* 静态和动态变化 * 等…(后者几个概念，一切也都是类型对象，作为 X 和 Y)… 然后确定或者猜测，是不是可以按照如上那些 * 视角 *(即什么类型的问题) 来看… 找到想要的学校和教科书教育，可能让人失去对数学的兴趣。在于每一课每一节上来就是符号公式。因为它们并不是让学生首先基于目标 (兴趣) 驱动，生塞一些 * 数学方法 * 到学生脑海里，然后也不训练大家遇到问题该如何建模，里边可以包含什么… 看待现实世界一切可以看作为大体几个视角或者问题的类型… 首先是目标驱动的，因为目标到方法的过程，作为一种以终为始的逆向思维，可以非常快速的排除不需要的因素。这就好比带着目标或者方向而活，就不大会走偏路… 因为越是靠近终点的因素越是状态越少，选项越少，越是更加可确定的。…(比死前的选项很少) 所以先从现实出发，有什么目标？逆向思维，问题？然后建模？然后包含什么？然后视角或者方法类型 (当然这个首先就要有)？实际上各个学科的教育，都不注意这个。先学习 * 方法 *，后毕业后才有 * 问题和目标 *，那是本末倒置了，往往之前学习的 * 方法 * 全忘了。@9math, 人脑，自我，Ai 现实中可以理解为有三种智能体：* 人脑 *,* 自我 *，*AI * 他们内在基本的组件是：Math (“类型对象” 即 “X Y”,“关系行为” 即函数…“视角” 即如上的… 智能体要做什么？主要也是如上这么几个过程…)(题外：* 人工智能 * 也应该有类如人脑这样目标驱动的逆向训练和行为过程……
* 意识，情感，目标驱动 *)
* 人脑 * 是独立于 * 自我 * 的另外一个机器，它会自发的工作。* 自我 * 往往笨到不如 * 人脑 *。比如 * 自我 * 在教育的过程中，不懂逆向工程。* 人脑 * 兴许可以自动 * 量子力学 * 计算，* 贝叶斯 (主观目标到客观方法的逆向工程)* 计算，* 统计归纳 * 计算等 (脑内有神经元自动机械化计算，不要意识参与)～可是 * 自我 * 可能就是学不会… 这是极为重要的：必须把 * 自我 * 和 * 大脑 * 区分开来，他们不是一回事，可以看作为两个主体。佛法和心理学会把这二者区分开来，因此作为两个对象，可以形成 * 剥离感 *，可以 * 互相观察 、审视、监督、制衡 * 实现自律。也所谓灵与肉的的剥离。
可是这两个学科只是泛泛而谈，并没有企图去理解这个是如何运作的。Math 和人工智能毫无疑问，是真正去理解心智的本质，在于这个可是真正的建模啊，甚至量化了 。把 * 自我 * 和 * 大脑 * 区分开，作为两个智能体，如上，好处很多。可以这样理解：* 大脑 * 作为一个智能体，即做一些自动的机械化的 X 到 Y 的拟合计算，实现人的自动行为输出 * 大脑 * 也同时有个内在部门，涌现出了 * 意识，情感 意志 想象 感知觉，解释理解，认知 * 的镜像空间，后者作为空间中的对象，合计构成 * 自我 *。* 自我 * 有时候比 * 大脑 * 更加智能，尤其是 * 恶习 *，* 大脑 * 会机械的基于之前训练的恶习，自发运作。而 * 自我 * 作为 * 大脑 * 产生的镜像空间中的智能体，可以逆向过程，反过来改变 * 大脑 *，戒除恶习 (改变脑内神经链接和参数等)。* 大脑 * 和 * 自我 *：类比为机器硬件、操作系统和语言所编码的空间中的 APP 这就好比是软件中，一种语言比如 java，jvm 虚拟机调用操作系统申请硬件资源，形成了一个虚拟的镜像空间，这里的空间和其中的对象都是假的，它可以反过来从宏观高级层面调用底层的 os 指令。进而是硬件。…*Ai*, 也是一种智能体，和 * 大脑 *，* 自我 * 并驾齐驱… 共同基于 * Math * 组件.Math: 看待现实万事万物，认为其包含的各种组件 (类型对象，关系结构 & 行为模式，空间 & 环境场景，视角 & 问题类型 ，逆向工程化建模…)。因为 Math 中各个组件，可以由自然演化而在基因编码然后操纵生物体大脑内逐渐形成…… 他们这些最基本的配件，完全可以是自然界的原始汤内分别形成的… 然后逐渐随意的组合到一起… 到固化…(大脑按照基因编码为模板形成内部先天结构，然后后天训练调整优化…) 生物如何在基因为模板，环境为反馈的操控下，进行各个器官、组织、细胞的分化和协调、增殖？具体演化的数学原理？不知道
一步步猜测而已…
兴许有形成大脑内 * 贝叶斯 * 神经网络的基因序列？* 概率评估 * 神经网络的基因序列…？形成 * 不同视角 * 神经网络的基因序列？* 逆向过程 * 神经网络的基因序列…？… 说一千，道一万，终极捕手是 math… 心智，佛法，心理学，进化论、生物学，医学，大脑、自我，ai,……… 皆归于 math 的组件构建和解释… 最近的 AI 涉足了蛋白质的结构可能性的研究：数学寻找排列组合可先不是学习数学，而是从现实出发～猜猜现实中包含什么，恰好可以用什么 * 模型，视角 * 即数学组件？
比如人工智能这个生物模型当下包含的那些组件，就是靠 AI 科学家猜的。我们可以假设 * 生命 - 人脑神经 - 行为 *，或者＊AI＊，或者＊自我＊，就是现实自然界中两个客体对象之间关系的 "动态映射"。科学家会假想出现实中的客体对象 X 和 Y，是不是包含了多维线性和非线性映射关系？预估和权重？是不是包含了空间、时间序列关系？是不是包含了整体和部分关系？重点和次要关系？于是在 AI 组件中加了线性和非线性激活函数、cnn、rnn、注意力等等一大堆，且都用数学符号表示之… 巧了，一实验发现还效果真不错… 然后不停的往 AI 中加上各种组件 (尤其是关系映射，问题类型视角)… 智能性越来越强… 自然界任何客体；
大脑、自我、AI 这样的智能主体；
* 主体 * 和 * 客体 * 都可以看作为 Math 中各个组件构成；
作为智能的 * 主体 *，其中的所有组件 (很多个小函数构成的大函数) 动态拟合了自然界任意 X 和 Y 两个对象之间的关系，或者映射 (* 自我 * 也可以作为 X 和 Y)；
或者主体操作 X, 形成 Y；
主客体可以互换，可以 一体化；
重复如上：可以把主体当成客体之间的关系结构映射，也可以把客体当作为主体的输入输出的被操作对象 — 可以数学化表示之
乱猜… 实验… 验证… 猜… 反正不花钱………………………………………………………………… 这本书很棒，多年前看过 。这本书是通俗易懂的。绝对不像教科书等那样搞一些不知道从何而来的公式符号把人吓倒，实际上那些教科书可能连最牛的数学家都看不懂。吓唬小朋友的。这本书的作者很老实、厚道，他写得很平易近人。这本书并不全面啊，实际上这本书也不系统。上面很多其中没有提到。但是它各个章节提出了看待世界的几个组件，尤其是 * 视角 *。他主要是把握几个点… 可是它很适合让人体验到数学的美和简洁优雅。给这本书评了5.0非数学专业人士的必读这本书写的非常好，能够史非数学专业人士对数学也有了深深浅浅的了解。读完，感觉自己的认知又上了一层，并且此书没有任何公式，能够使非数学专业人士也看得懂，看着不会感觉繁琐，无聊，相反，会感觉非常舒适，强烈推荐。
给这本书评了5.0非常棒的数学通识书我们的学校数学教育中很多底层的逻辑是不讲的，包括教育形式上老师教的更多是去背诵、记住而非理解公式和推导过程，这就造成了我们国人在数学领域能达到一定高度的较少。本书在证明和推导过程写得非常详细，仔细研读书中几个具体的实例对于我们提升对于数学的理解有非常大的帮助。本书适合对数学有兴趣但在现有的教育体系中有大量盲区的人，确实是一本好的数学通识书籍。
给这本书评了5.0数学之美给一门充满了公式和符号的科学写一本通识读物是很难的事。因为如果写的专业一些，必然又会离不开令人头晕脑胀的公式和推导，而如果写的浅显一些，可能就会太简单让人失去兴趣。毕竟，对于简单的、不言自明的，或者稍加思索就能明白的东西不能让人有成就感，而再难一些的内容会让大多数人放弃思考。牛津通识系列一直是可以信赖的，这本数学也不例外。作者并没有钻进公式和符号的圈套，而是高屋建瓴，站在一个高一些的角度介绍了数学的本质：抽象思维。这个高度刚刚好，可以让你跳出具体的推导可以从根本上理解数学的意义 —— 是为了解决问题而不是为了研究概念，同时也不至于太高 —— 那是哲学家的范畴。既然是为了解决问题，具备抽象思维就是必须的能力基础。数学家们从生活中不同现象和问题中总结出来共性的东西建立模型，研究模型系统的规律用来解决类似的问题，这本质上就是数学的意义。一个有趣的现象是数字和图形是相对应的，可以互相转换的。这种互相转换可以在不同的情境下帮助我们解决问题。比如一些从表面说不出原因的公式可以通过图形轻易地证明，例如毕达哥拉斯定理；而对于需要很多语言才能描述的几何图形规律可以用一个简洁的数学公式来体现，例如圆周率的计算。另外一个学生不太容易理解的是，数学不是永远都是在精确地描述一个概念，比如无穷大或无穷小。本质上，这种词语描述的是一种趋势和状态、而不是一个数；或者说微积分，研究的是一种无限分割直至无穷小的一种趋势和方法。而我小时候学习数学的时候不知道这一点，总是被这种迷惑性的概念所难倒而产生抗拒。所以，到最后，你会发现数学其实是一种思维，一种强调理性主义的逻辑思维。随着对数学理解的加深，就有能力从纷繁复杂的问题中解开最关键的结，这也是为什么很多人会说数学的公式很美，因为在跳出细节的干扰之外，你就能发现背后的规律很简单。阅读这本通识还是需要一些基本的数学基础，以及对一些基础运算的熟练度。我个人觉得说是数学基础，但也离不开语文的阅读理解能力，综合起来而言，就是需要一定的智商。我并没有一丝半毫炫耀智商的意思（事实是，我的智商并不高，阅读有些章节颇为吃力），我只是想说，在数学这门学科里探索，好比在一片乱芦苇丛里摸索着前进，智商越高就能看得越远，就能笃定前进的方向，甚至能观察到芦苇丛里那条很不起眼的小路。放弃一些对意义的追问，把数学当作一个纯粹的模型和工具，可能会让你没那么讨厌它。
给这本书评了5.0摒弃了“抽象”的数学教育事实上，当我们谈论用数学理解世界的时候，我们的理解都是错误的。数学作为一种 “工具”，是建立在人类认知局限性上的，我们先验的认知结构有太多限制。在数学教育中，我认为过于想要寻找其与现实生活的联系，而进行教育的思路是错误的。在结尾作者的话也支持了我这猜测。抽象！不是 “不可理解” 的，恰恰因为这种不可理解，我们才不会想要去突破人的认知限制去理解，从而真正能掌握数学的工具意义，来拓展认知边界。我仿佛已经看到了一大片漆黑的之地，那里用维度和数学来向外疯狂拓展的样子！
给这本书评了5.0后半部分开始看不懂了。会继续研究，希望能看懂全书。
给这本书评了5.0牛津通识读本：数学数学博大精深，而我才疏学浅，只能望其项背，保持谦卑。
给这本书评了5.0朴素可喜的数学通识读本确实如作者所言，只需要初中数学知识，就能读懂本书。书里没有奇闻八卦，全是扎实的抽象思考，都是一些最普通、最简单的问题。比如，证明毕达哥拉斯定理、证明圆面积公式、证明正方形网格的铺地砖问题、证明科赫曲线是一条 1.26 维的曲线，这些内容都充满乐趣。虽然我没看懂双曲几何这部分知识，但不影响理解本书搭建的脉络和抽象思考过程。
给这本书评了5.0不错的科普书用通俗易懂地方式向读者展示了数学的魅力
给这本书评了5.0数学的基础!学科的基础要扎实，这样当真正要用时，就已经准备好啦！
给这本书评了4.0在数学里，可能「本质先于存在」！比如，0、极限、无穷～
给这本书评了4.0科普读物有意思的书写读物
给这本书评了5.0为何数学惹人烦？数学中常常会引入重要的新思想，新思想会比旧思想更加复杂，每一个新思想的引入都有可能把我们甩在后面。所以数学难学。
给这本书评了4.0简单了解一下数学。
电子书牛津通识读本：数学
在这本极为易读又充满趣味的小书中，蒂莫西·高尔斯解释了高等数学与我们在中小学所学的数学知识之间的一些最为根本的、主要是哲学性的区别，让我们能更好地理解那些听起来带有悖论的概念。从基本的观念，到哲学探究，再到与数学共同体相关的一般社会学问题，本书揭开了空间和数的神秘面纱之一角。
